אי־שוויון הממוצעים: 3 הוכחות

לאיזו ערוגה מלבנית שהיקפה 40 מטר יש השטח הגדול ביותר? מהשאלה הזאת המסמך מגיע לאי־שוויון הממוצעים: הממוצע החשבוני של שני מספרים חיוביים גדול מהממוצע ההנדסי שלהם או שווה לו, ‎(a + b)/2 ≥ √(ab)‎. שלוש הוכחות: אלגברית, עם סרטוט של מלבנים; גאומטרית, בחצי מעגל; ובעזרת נגזרת.

בונוס: ארבעה ממוצעים בסרטוט אחד. להעמקה: אי־השוויון לשלושה מספרים ויותר. בסוף: בעיות קיצון בלי נגזרת, מלכודות, היסטוריה וחמש שאלות לבדיקה עצמית. מה כדאי לדעת קודם: שורש ריבועי וריבוע של הפרש. להוכחה השנייה צריך גם דמיון משולשים וזווית היקפית שנשענת על קוטר, ולשלישית – נגזרת ונקודות קיצון.