הוכחות מתמטיות לנוסחאות ולמשפטים

7 הוכחות למשפט פיתגורס

שבע הוכחות שונות למשפט פיתגורס – סידור מחדש, משולשים דומים, אוקלידס, הנשיא גרפילד ועוד – עם המשפט ההפוך, שלשות פיתגוריות ושאלות לבדיקה עצמית. לכיתות ז׳–ט׳, PDF חינם.

2 הוכחות לנוסחת הנפח של פירמידה וחרוט

למה נפח פירמידה הוא שליש מהמנסרה ולא חצי? שתי הוכחות – קובייה שמתפרקת לשלוש פירמידות ועיקרון קוואליירי, ופרוסות דקות עד אינטגרל – וגם החרוט. לחטיבה ולתיכון, PDF חינם.

3 הוכחות למשפט חוצה הזווית

חוצה זווית במשולש מחלק את הצלע שמולה ביחס הצלעות שלידה. שלוש הוכחות – תאלס, שטחים ומשפט הסינוסים – המשפט ההפוך, חוצה הזווית החיצונית ואורך החוצה. ל־4–5 יח״ל, PDF חינם.

3 הוכחות למפגש התיכונים במשולש

שלושת התיכונים במשולש נפגשים בנקודה אחת שמחלקת כל תיכון ביחס 2 ל־1. שלוש הוכחות – קטע אמצעים ודמיון, וקטורים ושטחים – ומבט מהפיזיקה. ל־4–5 יח״ל, PDF חינם.

זווית היקפית וזווית מרכזית: 2 הוכחות ו־5 מסקנות

למה כל הזוויות ההיקפיות שנשענות על אותה קשת שוות? שתי הוכחות – בדרך של אוקלידס ובכיוונים – וחמש מסקנות: קוטר, מרובע חסום, משיק ומיתר ועוד. ל־4–5 יח״ל, PDF חינם.

חזקת נקודה ביחס למעגל: 3 הוכחות

מיתרים נחתכים, שני חותכים, חותך ומשיק – שלושה משפטים שהם נוסחה אחת. שלוש הוכחות – משולשים דומים, פיתגורס ונוסחאות ויאטה – ושימושים. ל־5 יח״ל, להעמקה, PDF חינם.

5 הוכחות לנפח הכדור ולשטח הפנים שלו

מאיפה מגיעות הנוסחאות V = 4πR³/3 ו־S = 4πR²? חמש הוכחות: ארכימדס ועיקרון קוואליירי, גוף סיבוב, פירמידות דקות, קליפות של בצל ו״קופסת הכובע״. ל־3 ו־5 יח״ל, PDF חינם.

הוכחות לנוסחאות הכפל המקוצר

למה הריבוע של סכום אינו סכום הריבועים? שתי הוכחות לכל אחת משלוש נוסחאות הכפל המקוצר – בפתיחת סוגריים ובחישוב שטחים – וגם חזקה שלישית ופירוק לגורמים. לכיתות ח׳–ט׳, PDF חינם.

3 הוכחות לנוסחת השורשים

מאיפה מגיעה נוסחת השורשים של משוואה ריבועית? שלוש הוכחות – השלמה לריבוע, הסרטוט של אל־חוארזמי והסימטריה של הפרבולה – עם הדיסקרימיננטה ונוסחאות ויאטה. לכיתה ט׳, PDF חינם.

הסתברות מותנית ו־3 הוכחות לנוסחת בייס

מה משתנה כשיודעים משהו? ההגדרה של הסתברות מותנית, כלל הכפל ואי־תלות, שלוש הוכחות לנוסחת בייס, הפרדוקס של הבדיקה המדויקת ושאלות בסגנון הבגרות. ל־4–5 יח״ל, PDF חינם.

הוכחות לבינום של ניוטון ולנוסחת ברנולי

מאיפה מגיעים המקדמים 1, 3, 3, 1? שתי הוכחות לבינום של ניוטון (בספירה ובמשולש פסקל) ושתיים לנוסחת ברנולי בהסתברות, ולמה סכום ההסתברויות הוא 1. ל־5 יח״ל, PDF חינם.

אי־שוויון הממוצעים: 3 הוכחות

הממוצע החשבוני של שני מספרים חיוביים גדול מהממוצע ההנדסי או שווה לו. שלוש הוכחות – אלגברית, בחצי מעגל ובנגזרת – וקיצור דרך לבעיות קיצון. להעמקה, 4–5 יח״ל, PDF חינם.

3 הוכחות לנוסחת הסכום של סדרה חשבונית

איך מחברים 100 מספרים בלי לחבר אחד־אחד? שלוש הוכחות לנוסחת הסכום של סדרה חשבונית – ״הלוך וחזור״, שתי מדרגות שיוצרות מלבן ואינדוקציה – ומאיפה מגיע האיבר הכללי. ל־4–5 יח״ל.

4 הוכחות לנוסחת הסכום של סדרה הנדסית

כופלים, מחסירים – וכמעט כל האיברים נעלמים. ארבע הוכחות לנוסחת הסכום של סדרה הנדסית: שלוש אלגבריות והוכחה בציור, עם המקרה q = 1, דוגמאות ושאלות לבדיקה עצמית. ל־4–5 יח״ל.

3 הוכחות לסכום של סדרה הנדסית אינסופית

איך מחברים אינסוף מספרים ומקבלים מספר רגיל? מה פירוש ״סכום אינסופי״ ומתי הוא קיים, שלוש הוכחות לנוסחת הסכום – כולל הוכחה בציור – ושברים מחזוריים. ל־4–5 יח״ל, PDF חינם.

2 הוכחות לנוסחת הריבית דריבית

למה כסף בחיסכון גדל מהר יותר ויותר? שתי הוכחות לנוסחת הריבית דריבית, ריבית פשוטה מול דריבית, דעיכה, זמן הכפלה, ריבית חודשית והמספר e. ל־3–5 יח״ל, PDF חינם.

הוכחה באינדוקציה: 8 הוכחות

אפקט הדומינו: איך מוכיחים טענה על כל המספרים הטבעיים בשני שלבים. עיקרון האינדוקציה, תבנית לכתיבת הוכחה, שלוש טענות בשתי דרכים ושלוש מלכודות מפורסמות. ל־5 יח״ל, PDF חינם.

מעגל היחידה: 9 הוכחות קצרות

איך מעגל אחד הפך את הסינוס והקוסינוס לפונקציות של כל זווית? ההגדרה במעגל היחידה, זהות פיתגורס בשתי דרכים, זוויות קשורות, סימנים ברביעים, tan כשיפוע ורדיאנים. ל־5 יח״ל.

הוכחות לנוסחאות שטח משולש

למה שטח משולש הוא חצי מכפלת שתי צלעות בסינוס הזווית שביניהן? שתי הוכחות לכל נוסחה, שטח מקבילית ומרובע לפי האלכסונים, ונוסחת הרון להעמקה. ל־4–5 יח״ל, PDF חינם.

3 הוכחות למשפט הסינוסים

כל צלע חלקי הסינוס של הזווית שמולה – תמיד אותו מספר, קוטר המעגל החוסם. שלוש הוכחות למשפט הסינוסים והמקרה הדו־משמעי: מתי יש שני משולשים, אחד או אף לא אחד. ל־4–5 יח״ל.

3 הוכחות למשפט הקוסינוסים

משפט פיתגורס ״המשודרג״ שעובד בכל משולש: שלוש הוכחות למשפט הקוסינוסים – גובה ופיתגורס, מערכת צירים והטלות (שמוכיחה גם את פיתגורס). ל־5 יח״ל, PDF חינם.

3 הוכחות לנוסחאות סכום והפרש זוויות

למה הקוסינוס של סכום זוויות אינו סכום הקוסינוסים? שלוש הוכחות – מיתר במעגל, מלבן ושטחים – ומהן טנגנס, זווית כפולה ונוסחאות מסכום למכפלה. ל־5 יח״ל, PDF חינם.

3 הוכחות לנוסחת המרחק בין שתי נקודות

נוסחת המרחק היא משפט פיתגורס במערכת צירים. שלוש הוכחות – משולש ישר־זווית, ריבוע בתוך ריבוע בלי פיתגורס, והמרחק במרחב – ונוסחת אמצע הקטע. ל־3–5 יח״ל, PDF חינם.

3 הוכחות לתנאי הניצבות של שני ישרים

למה השיפועים של ישרים מאונכים ״הופכיים ונגדיים״? שלוש הוכחות לתנאי הניצבות – פיתגורס וההפוך לו, סיבוב ״משולש השיפוע״ ו־tan של זווית הנטייה. ל־3–5 יח״ל, PDF חינם.

3 הוכחות למשוואת המעגל

מעגל הוא כל הנקודות שנמצאות באותו מרחק מהמרכז – איך זה הופך למשוואה? שלוש הוכחות למשוואת המעגל, הצורה המפותחת והשלמה לריבוע. ל־4–5 יח״ל, PDF חינם.

המשיק למעגל: 4 הוכחות

למה המשיק למעגל ניצב לרדיוס, ואיך מגיעים למשוואה שלו? הוכחה בעזרת פיתגורס, משוואת המשיק בשלוש הוכחות – מרחק, שיפועים ומכפלה סקלרית – ושימושים. ל־4–5 יח״ל, PDF חינם.

המשיק לפרבולה: 4 הוכחות

ארבע דרכים אל המשיק לפרבולה – מיתרים שמתקצרים, שורש כפול, מוקד ומדריך, והחלפה בין x ל־y – לגרף של פונקציה ריבועית ולפרבולה y² = 2px. ל־4–5 יח״ל, PDF חינם.

הוכחות למשוואת הפרבולה ולמשוואת המשיק

מרחק שווה מנקודה ומישר – ומשם אל המשוואה y² = 2px ואל משוואת המשיק, בשתי דרכים: בנגזרת ובדיסקרימיננטה. וגם למה צלחות לוויין בנויות כמו פרבולה. ל־5 יח״ל.

2 הוכחות למשוואת האליפסה

״סכום מרחקים קבוע״ – מחבל של גנן אל המשוואה הקנונית של האליפסה, בשתי דרכים, כולל ״טריק ההפרש״, נוסחאות למרחקים מהמוקדים והאקסצנטריות. ל־5 יח״ל, PDF חינם.

2 הוכחות למשוואת ההיפרבולה

כשהפרש המרחקים משני מוקדים קבוע מקבלים היפרבולה. שתי הוכחות למשוואת ההיפרבולה, האסימפטוטות, המרחקים מהמוקדים והשוואה לאליפסה. ל־5 יח״ל, PDF חינם.

האסימפטוטות של ההיפרבולה: 3 הוכחות

ישרים שההיפרבולה מתקרבת אליהם בלי סוף ולא נוגעת בהם: שלוש הוכחות לאסימפטוטות – הפרש ריבועים, ביטוי צמוד וישירות מההגדרה – והצגה פרמטרית להעמקה. ל־5 יח״ל, PDF חינם.

המשיק לאליפסה ולהיפרבולה: 8 הוכחות

משוואת המשיק לאליפסה בשלוש דרכים ולהיפרבולה בשתיים, ותכונת ההחזרה: למה קרן אור ממוקד אחד של אליפסה מוחזרת אל המוקד השני. ל־5 יח״ל, PDF חינם.

מעגל אפולוניוס: 3 הוכחות ובונוס

הנקודות שהמרחק שלהן מנקודה אחת גדול פי 2 מהמרחק מנקודה אחרת יוצרות מעגל. שלוש הוכחות – אלגברית, גאומטרית ובמספרים מרוכבים – והוכחה וקטורית בונוס. ל־5 יח״ל, PDF חינם.

הנגזרת וכללי הגזירה: 8 הוכחות

איך נולד מושג הנגזרת, ומאיפה מגיעים כללי הגזירה? הוכחה לכל כלל: חזקה, מכפלה ומנה (בשתי דרכים כל אחד), סכום, כפל בקבוע ושרשרת – 8 הוכחות. ל־4–5 יח״ל, PDF חינם.

משפטי פרמה, רול ולגרנז׳: 5 הוכחות

למה בנקודת קיצון הנגזרת מתאפסת, ולמה נגזרת חיובית פירושה פונקציה עולה? משפט פרמה, משפטי רול ולגרנז׳ (הערך הממוצע) עם הוכחות מלאות, ומסקנות. ל־4–5 יח״ל, PDF חינם.

הנגזרות של סינוס וקוסינוס: 7 הוכחות

למה הנגזרת של sin x היא cos x? הגבול של sin h חלקי h בשתי הוכחות, הנגזרות של sin ו־cos בשתי הוכחות כל אחת, הנגזרת של tan ולמה כל זה נכון רק ברדיאנים. ל־5 יח״ל, PDF חינם.

האינטגרל המסוים: 2 הוכחות

ממלבנים וטרפזים, דרך השאיפה לאפס, ועד נוסחה בת שורה אחת: השטח מתחת ל־y = x² והוכחת המשפט היסודי – למה הנגזרת של פונקציית השטח היא f. ל־4–5 יח״ל, PDF חינם.

המספר e והלוגריתם הטבעי: 8 הוכחות

למה דווקא e, ולמה הנגזרת של eˣ היא eˣ? איך מגדירים את e, שתי הוכחות לנגזרת של ln x, הנגזרת של aˣ, e כגבול וחוקי הלוגריתמים בשתי דרכים. ל־4–5 יח״ל, PDF חינם.

2 הוכחות למכפלה הסקלרית

שתי הגדרות למכפלה הסקלרית – לפי הרכיבים ולפי האורכים והזווית – שתמיד נותנות אותו מספר. שתי הוכחות, ושימושים: ניצבות, אורך, זווית בין וקטורים והיטל. ל־4–5 יח״ל, PDF חינם.

2 הוכחות למשוואת הישר במרחב

נקודה אחת, כיוון אחד ומספר אחד: איך כותבים ישר במרחב ולמה זה עובד. שתי הוכחות להצגה הפרמטרית, נקודה על ישר, המצב ההדדי של שני ישרים ומשוואות סימטריות. ל־5 יח״ל.

2 הוכחות למשוואת המישור במרחב

נקודה אחת וכיוון ניצב אחד – וכל המישור נכנס למשוואה אחת. שתי הוכחות למשוואת המישור (מהנורמל ומההצגה הפרמטרית), מישור דרך שלוש נקודות ומקרים מיוחדים. ל־5 יח״ל.

2 הוכחות לנוסחת המרחק של נקודה ממישור

מציבים, לוקחים ערך מוחלט ומחלקים – ולמה זה תמיד עובד. שתי הוכחות לנוסחת המרחק של נקודה ממישור, וגם המרחק של נקודה מישר במישור. ל־5 יח״ל, PDF חינם.

זוויות במרחב: 6 הוכחות

מאיפה מגיע ה־sin בנוסחת הזווית בין ישר למישור, ולמה בין שני מישורים מופיע cos? שתי הוכחות לכל נוסחה, והמרחק בין מישורים מקבילים. ל־5 יח״ל, PDF חינם.

המכפלה הווקטורית: 2 שיטות ו־2 הוכחות

איך מוצאים וקטור שניצב לשני וקטורים? שתי שיטות – מערכת משוואות עם משתנה חופשי והמכפלה הווקטורית בעזרת דטרמיננטה – שתי הוכחות, כלל יד ימין ושטח מקבילית ומשולש. ל־5 יח״ל.

כפל מרוכבים ומשפט דה מואבר: 6 הוכחות

למה בכפל מרוכבים כופלים אורכים ומחברים זוויות? שתי הוכחות לכפל בהצגה קוטבית, משפט דה מואבר באינדוקציה, ושורשי היחידה כמצולע משוכלל. ל־5 יח״ל, PDF חינם.