הוכחות בגאומטריה אנליטית
11 מסמכי PDF · חינם, בלי הרשמה
גאומטריה אנליטית מתרגמת צורות למשוואות, והמסמכים כאן מראים איך עושים את התרגום צעד אחר צעד: נוסחת המרחק ותנאי הניצבות, משוואת המעגל והמשיק למעגל, ומשוואות חתכי החרוט – פרבולה, אליפסה והיפרבולה – עם המשיקים שלהן והאסימפטוטות של ההיפרבולה. בסוף: מעגל אפולוניוס, מקום גאומטרי שמוכח בשלוש דרכים.
נוסחת המרחק ותנאי הניצבות מתאימים ל־3–5 יח״ל; משוואת המעגל, המשיק למעגל והמשיק לפרבולה ל־4–5 יח״ל; והשאר לכיתה י״ב ב־5 יח״ל. כל המסמכים נשענים על נוסחת המרחק, ולכן כדאי להתחיל בה.
3 הוכחות לנוסחת המרחק בין שתי נקודות
נוסחת המרחק היא משפט פיתגורס במערכת צירים. שלוש הוכחות – משולש ישר־זווית, ריבוע בתוך ריבוע בלי פיתגורס, והמרחק במרחב – ונוסחת אמצע הקטע. ל־3–5 יח״ל, PDF חינם.
3 הוכחות לתנאי הניצבות של שני ישרים
למה השיפועים של ישרים מאונכים ״הופכיים ונגדיים״? שלוש הוכחות לתנאי הניצבות – פיתגורס וההפוך לו, סיבוב ״משולש השיפוע״ ו־tan של זווית הנטייה. ל־3–5 יח״ל, PDF חינם.
3 הוכחות למשוואת המעגל
מעגל הוא כל הנקודות שנמצאות באותו מרחק מהמרכז – איך זה הופך למשוואה? שלוש הוכחות למשוואת המעגל, הצורה המפותחת והשלמה לריבוע. ל־4–5 יח״ל, PDF חינם.
המשיק למעגל: 4 הוכחות
למה המשיק למעגל ניצב לרדיוס, ואיך מגיעים למשוואה שלו? הוכחה בעזרת פיתגורס, משוואת המשיק בשלוש הוכחות – מרחק, שיפועים ומכפלה סקלרית – ושימושים. ל־4–5 יח״ל, PDF חינם.
המשיק לפרבולה: 4 הוכחות
ארבע דרכים אל המשיק לפרבולה – מיתרים שמתקצרים, שורש כפול, מוקד ומדריך, והחלפה בין x ל־y – לגרף של פונקציה ריבועית ולפרבולה y² = 2px. ל־4–5 יח״ל, PDF חינם.
הוכחות למשוואת הפרבולה ולמשוואת המשיק
מרחק שווה מנקודה ומישר – ומשם אל המשוואה y² = 2px ואל משוואת המשיק, בשתי דרכים: בנגזרת ובדיסקרימיננטה. וגם למה צלחות לוויין בנויות כמו פרבולה. ל־5 יח״ל.
2 הוכחות למשוואת האליפסה
״סכום מרחקים קבוע״ – מחבל של גנן אל המשוואה הקנונית של האליפסה, בשתי דרכים, כולל ״טריק ההפרש״, נוסחאות למרחקים מהמוקדים והאקסצנטריות. ל־5 יח״ל, PDF חינם.
2 הוכחות למשוואת ההיפרבולה
כשהפרש המרחקים משני מוקדים קבוע מקבלים היפרבולה. שתי הוכחות למשוואת ההיפרבולה, האסימפטוטות, המרחקים מהמוקדים והשוואה לאליפסה. ל־5 יח״ל, PDF חינם.
האסימפטוטות של ההיפרבולה: 3 הוכחות
ישרים שההיפרבולה מתקרבת אליהם בלי סוף ולא נוגעת בהם: שלוש הוכחות לאסימפטוטות – הפרש ריבועים, ביטוי צמוד וישירות מההגדרה – והצגה פרמטרית להעמקה. ל־5 יח״ל, PDF חינם.
המשיק לאליפסה ולהיפרבולה: 8 הוכחות
משוואת המשיק לאליפסה בשלוש דרכים ולהיפרבולה בשתיים, ותכונת ההחזרה: למה קרן אור ממוקד אחד של אליפסה מוחזרת אל המוקד השני. ל־5 יח״ל, PDF חינם.
מעגל אפולוניוס: 3 הוכחות ובונוס
הנקודות שהמרחק שלהן מנקודה אחת גדול פי 2 מהמרחק מנקודה אחרת יוצרות מעגל. שלוש הוכחות – אלגברית, גאומטרית ובמספרים מרוכבים – והוכחה וקטורית בונוס. ל־5 יח״ל, PDF חינם.